函数有n阶导，为什么只能洛到n-1阶？

来源：哔哩哔哩时间：2023-06-24 13:19:44

(资料图片)

在学习带Peano余项的Taylor公式的证明过程中，我发现明明设定中，函数f(x)在x0处有n阶导，但是证明应用洛必达法则时，却只应用到了n-1阶，虽然这样也可以证明，但给我带来了一个疑问：

为什么不能洛到n阶？

让我们先从洛必达法则的应用条件出发（参考陈纪修版《数学分析》），当我们要应用到n阶，我们需要满足条件（4），也就是极限存在。

根据现有条件，f（x）在x0处有n阶导，只能说明在这一个点，n阶导数存在，即n阶导数在x0这一点有定义，显然，函数在一点有定义和函数在一点极限是否存在是毫无关系的，也就不一定能满足条件（4）。

那为什么可以洛到n-1阶？

因为可导必连续，n阶导数的存在即n-1阶导数的连续，连续则极限存在，满足条件（4）

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